数学の不思議 | スタッフブログ

数学の不思議

2019.07.03 未分類

喜怒哀楽の哀ばかりを謳歌している技術の川田です。

今回は「数学の不思議」という題です。この間数学で感動した内容があったのでご紹介させていただきます。数学に苦手意識がある方もいらっしゃると思いますが……

手始めに、$$\frac{1}2+\frac{1}4+\frac{1}8+…$$と1/2をどんどん1/2倍されていくものを限りなく足していくと合計の値はどうなるかを考えてみましょう。シグマを使った式で書くとこうなります。$$\sum_{n=1}^{∞}{{(\frac{1}{2})}^n}$$

これは実は1に収束していきます!下の図からも直感的にわかりますね。(数学苦手な方もここだけは頑張ってください!)


極限の概念を知らないときに、初めてこれを見て「無限回足していってるのに値が決まる、それも整数になるってすごい!」と大興奮した覚えがあります。

さて本題ですが、今度は1+2+3+4+…を限りなく続けていくとどのような値になるでしょうか?直感的に考えると、その値は無尽蔵に増えていき、値は不定で、無限大に発散します。(事実そうですが)

しかしながらこれ以外の値があるらしく、どうやら-1/12になるらしいのです!(wikipedia参照)(数学的に有限の値として割り当てられる?らしい。ゼータ関数とかが絡んでくるらしい……(´ε`;)ウーン…)

整数しか足してないのに、答えは負の分数????という疑問と計算における厳密さは置いておいて、わりと簡単にガリガリと解ける計算法を解説しますと、

① 1+2+3+4+…をcと置く
② c-4cをする(cの2項から4cの1項を引く、cの4項から4cの2項を引く…といった操作が必要)と、以下の式が得られる。$$-3c=1-2+3-4+…$$
③ 一方、1/(1+x)をマクローリン展開したものに着目。$${\frac{1}{1+x}}=1-x+x^2-x^3+…$$
④ これについて両辺をxで微分し、x=1を代入すると$${\frac{1}{4}}=1-2+3-4+…$$
⑤ ②と④より、$$c={-\frac{1}{12}}=1+2+3+4+…$$

以上の手順で得られるらしいです。②のcの特別な操作をする部分にツッコミを入れたくなりますが、これがあながち間違いでもないらしく、結局のところ「ゼータ関数を解析接続した結果を用いて、1+2+3+4+…を-1/12と定義する」ということらしいです。まるで何を言っているかわかりませんが。

ツイッターの論争で「1+2+3+4+…ってのは一意に無限大になるのは明らかだよね」みたいなツイートに「いやいや-1/12になることもあるんですよこれが」みたいなツイートがぶら下がっているのを見て、衝撃を受け調べてみた次第でありました。

数学って意味わかんなくておもしろいね。おわり。